Основной курс по олимпиадной математике (8-9 класс) [Атриум] [Василий Короленков, Дарья Алексеева, Дарья Короткова]

Указаны на площадке: Василий Короленков, Дарья Алексеева, Дарья Короткова

1. Простой уровень сложности:Время не указано
2. Методы: принцип ДирихлеВремя не указано
3. Научимся выбирать «клетки» и «объекты» так, чтобы гарантировать совпадение, близость или повторение. Разберём числовые, геометрические и комбинаторные сюжеты.Время не указано
4. Методы: принцип крайнегоВремя не указано
5. Будем выбирать наибольший, наименьший или крайний объект и использовать его свойства для запуска доказательства. Отработаем типичные признаки применимости метода.Время не указано
6. Теория чисел: делимость, основная теорема арифметикиВремя не указано
7. Повторим делимость и разложение на простые множители. Научимся сравнивать показатели простых и использовать единственность разложения в доказательствах.Время не указано
8. Теория чисел: остаткиВремя не указано
9. Освоим арифметику остатков и выбор подходящего модуля. Научимся быстро исключать невозможные значения и исследовать периодичность.Время не указано
10. Комбинаторика: вычитание и делениеВремя не указано
11. Разберём подсчёт через дополнение и устранение многократного учёта. Научимся распознавать, сколько раз каждый объект был посчитан.Время не указано
12. Графы: основные понятия, лемма о рукопожатияхВремя не указано
13. Введём вершины, рёбра, степени и пути. Докажем лемму о рукопожатиях и применим её к задачам о знакомствах, дорогах и нечётных степенях.Время не указано
14. Геометрия: прямоугольные треугольникиВремя не указано
15. Систематизируем свойства прямоугольного треугольника: медиану к гипотенузе, высоту, углы между ними.Время не указано
16. РазнобойВремя не указано
17. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано
18. Средний уровень сложности:Время не указано
19. Методы: оценки в комбинаторикеВремя не указано
20. Научимся ограничивать число объектов, пар, пересечений и вариантов с помощью двойного подсчёта, усреднения и локальных ограничений.Время не указано
21. Методы: оценки в теории чиселВремя не указано
22. Разберём, как сравнивать размеры делителей, степеней и слагаемых, чтобы отсекать невозможные случаи в задачах на целые числа.Время не указано
23. Методы: инварианты мешаютВремя не указано
24. Будем доказывать невозможность, находя неизменяемую характеристику, значения которой различаются в начальном и требуемом состояниях.Время не указано
25. Алгебра: неравенства 1Время не указано
26. Соберём базовые методы доказательства неравенств: перенос в одну сторону, факторизация, выделение квадрата и неравенство о средних для двух переменных.Время не указано
27. Теория чисел: малая теорема ФермаВремя не указано
28. Изучим малую теорему Ферма и периодичность степеней по простому модулю. Применим её к последним цифрам, делимости и сравнениям.Время не указано
29. Геометрия: неравенство треугольникаВремя не указано
30. Освоим сравнение длин через ломаные и спрямление пути. Научимся строить точки так, чтобы сложная сумма отрезков превратилась в один отрезок.Время не указано
31. Геометрия: конкурентностьВремя не указано
32. Разберём доказательства пересечения трёх прямых в одной точке, сводя задачу к пересечению замечательных линий в треугольнике.Время не указано
33. РазнобойВремя не указано
34. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано
35. Сложный уровень сложности:Время не указано
36. Алгебра: неравенство о среднихВремя не указано
37. Изучим связь среднего арифметического и геометрического для нескольких переменных, условия равенства и типичные замены.Время не указано
38. Методы: сложные оценкиВремя не указано
39. Соберём несколько локальных ограничений в одну точную глобальную оценку. Отработаем усреднение, двойной подсчёт и выбор параметра в задачах высокой сложности.Время не указано
40. Геометрия: геометрические неравенстваВремя не указано
41. Разберём оценки длин, углов и площадей с помощью неравенства треугольника, проекций, спрямления и экстремальных конфигураций.Время не указано
42. РазнобойВремя не указано
43. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано

1. Простой уровень сложности:Время не указано
2. Методы: обратный ходВремя не указано
3. Научимся рассуждать от требуемого результата к исходным данным и обращать допустимые операции. Метод особенно полезен в задачах на процессы, игры и построения.Время не указано
4. Методы: комбинаторные конструктивы 1Время не указано
5. Разберём базовые способы явно строить объекты с заданными свойствами. Научимся превращать идею конструкции в строгое доказательство.Время не указано
6. Теория чисел: признаки делимостиВремя не указано
7. Разберём классические и нестандартные признаки делимости через десятичную запись и остатки. Научимся самостоятельно выводить признаки для разных модулей.Время не указано
8. Теория чисел: НОД, НОК, Алгоритм ЕвклидаВремя не указано
9. Освоим свойства НОД и НОК, алгоритм Евклида и линейное представление НОД. Применим их к решению различных задач.Время не указано
10. Алгебра: преобразование выражений 2Время не указано
11. Продолжим преобразования: симметрические выражения, вложенные дроби и нестандартные разложения на множители. Научимся выбирать форму, удобную для доказательства.Время не указано
12. Комбинаторика: формула включений исключенийВремя не указано
13. Разберём, как считать объединение пересекающихся множеств, корректируя повторный учёт. Применим формулу к делимости, словам и размещениям.Время не указано
14. Геометрия: параллелограммы и средние линииВремя не указано
15. Разберём свойства параллелограмма и средних линий треугольника и трапеции. Отработаем рассуждения через параллельность и равные отрезки.Время не указано
16. РазнобойВремя не указано
17. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано
18. Средний уровень сложности:Время не указано
19. Методы: инварианты помогаютВремя не указано
20. Научимся находить величину или свойство, которое сохраняется в процессе, и использовать его для вычисления результата, восстановления состояния или описания всех возможностей.Время не указано
21. Методы: дискретная непрерывностьВремя не указано
22. Разберём принцип промежуточного значения в дискретных процессах: если целочисленная величина меняется малыми шагами, она обязана пройти через нужное значение.Время не указано
23. Методы: оценка + примерВремя не указано
24. Освоим одну из главных олимпиадных конструкций: сначала докажем верхнюю или нижнюю границу, затем построим пример, на котором она достигается.Время не указано
25. Теория чисел: сравнения по модулю 2Время не указано
26. Продолжим работу со сравнениями: обратимые остатки, деление при допустимых условиях, системы сравнений и периодичность степеней.Время не указано
27. Алгебра: рациональные и иррациональные числаВремя не указано
28. Разберём доказательства иррациональности, сопряжённые выражения и разделение рациональной и иррациональной частей.Время не указано
29. Геометрия: вписанные углы 1Время не указано
30. Освоим связь вписанного и центрального углов, углы, опирающиеся на одну хорду, и простые признаки вписанности четырёх точек.Время не указано
31. Геометрия: вписанные углы 2Время не указано
32. Продолжим работу с окружностями: ориентированные углы, касательные, равенство дуг и цепочки вписанностей в сложных конфигурациях.Время не указано
33. РазнобойВремя не указано
34. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано
35. Сложный уровень сложности:Время не указано
36. Алгебра: целочисленная теорема БезуВремя не указано
37. Рассмотрим разность значений многочлена с целыми коэффициентами в целых точках и докажем её делимость на разность значений. Используем этот метод в разных задачах.Время не указано
38. Теория чисел: сложные задачи с остаткамиВремя не указано
39. Будем комбинировать несколько модулей, исследовать степени и многочлены по остаткам, а также строить контрпримеры и точные ограничения.Время не указано
40. Методы: префиксные суммыВремя не указано
41. Освоим суммы первых элементов последовательности и их разности. Научимся выражать суммы на отрезках и находить повторения с помощью принципа Дирихле.Время не указано
42. Геометрия: сложные задачи с окружностямиВремя не указано
43. Соберём вписанные углы, хорыд, секущие и касательные в многошаговых конфигурациях. Научимся выбирать ведущую окружность.Время не указано

1. Простой уровень сложности:Время не указано
2. Методы: комбинаторные конструктивы 2Время не указано
3. Продолжим конструктивный метод: циклические схемы, чередование, блочные конструкции и рекурсивное построение. Упор на выбор конструкции под ограничения задачи.Время не указано
4. Методы: раскраскиВремя не указано
5. Научимся выбирать раскраску, сохраняющуюся или предсказуемо меняющуюся при операциях. Применим её к клетчатым доскам, разбиениям и доказательствам невозможности.Время не указано
6. Теория чисел: простая десятичная записьВремя не указано
7. Разберём запись числа по разрядам и базовые задачи о цифрах: перестановка, дописывание, сумма цифр и делимость.Время не указано
8. Алгебра: числовые неравенстваВремя не указано
9. Освоим сравнение числовых выражений без вычислений: приведение к квадратам, разложения, монотонность и рациональные оценки.Время не указано
10. Графы: деревьяВремя не указано
11. Изучим связные графы без циклов, листья и эквивалентные определения дерева. Научимся использовать удаление листа и подсчёт рёбер.Время не указано
12. Геометрия: геометрическое место точекВремя не указано
13. Научимся описывать множество точек, удовлетворяющих условию: серединные перпендикуляры, биссектрисы, окружности. Разберём пересечение нескольких ГМТ.Время не указано
14. Геометрия: теорема ФалесаВремя не указано
15. Освоим равные отрезки при параллельных прямых и обратные утверждения. Научимся применять её в задачах.Время не указано
16. РазнобойВремя не указано
17. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано
18. Средний уровень сложности:Время не указано
19. Методы: полуинвариантыВремя не указано
20. Разберём величины, которые меняются только в одном направлении. Научимся доказывать завершение процессов, невозможность циклов и оценивать число ходов.Время не указано
21. Методы: метод математической индукцииВремя не указано
22. Освоим обычную и усиленную индукцию, выбор удобного параметра и правильный переход. Разберём доказательства тождеств, неравенств и комбинаторных утверждений.Время не указано
23. Алгебра: квадратный трёхчлен 1Время не указано
24. Освоим дискриминант, сумму и произведение корней, знак трёхчлена и выделение полного квадрата. Применим это к базовым олимпиадным задачам.Время не указано
25. Теория чисел: простые числаВремя не указано
26. Разберём свойства простых чисел, бесконечность множества простых и разложения произведений. Научимся выбирать крайний простой делитель.Время не указано
27. Графы: смежность и связность 1Время не указано
28. Освоим пути, компоненты связности и локальные условия на соседей. Научимся переводить сюжет задачи в граф и исследовать достижимость.Время не указано
29. Геометрия: обобщённая теорема ФалесаВремя не указано
30. Разберём направленные отношения на секущих, несколько параллельных прямых и более сложные пропорции. Свяжем метод с подобием.Время не указано
31. Геометрия: вписанные четырёхугольникиВремя не указано
32. Разберём признаки вписанности, суммы противоположных углов, внешние углы и следствия для диагоналей. Научимся находить скрытую окружность.Время не указано
33. РазнобойВремя не указано
34. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано
35. Сложный уровень сложности:Время не указано
36. Графы: смежность и связность 2Время не указано
37. Углубим связность: разрезы, мосты, точки сочленения и минимальные связные структуры. Отработаем доказательства различных свойств.Время не указано
38. Алгебра: квадратный трёхчлен 2Время не указано
39. Продолжим: параметры, целые корни, расположение корней и построение вспомогательного трёхчлена. Научимся извлекать ограничения без явного решения.Время не указано
40. Геометрия: вписанность в действииВремя не указано
41. Будем находить несколько взаимосвязанных окружностей и переносить угловые равенства по цепочке. Упор на выбор самой полезной вписанности.Время не указано
42. РазнобойВремя не указано
43. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано

1. Простой уровень сложности:Время не указано
2. Комбинаторика: сочетанияВремя не указано
3. Освоим биномиальные коэффициенты, выбор без учёта порядка и основные тождества. Научимся видеть сочетания в задачах, не сформулированных как выбор элементов.Время не указано
4. Теория чисел: линейные диофантовы уравненияВремя не указано
5. Научимся находить все целочисленные решения уравнения ax + by = c, проверять критерий существования и учитывать ограничения на знаки.Время не указано
6. Алгебра: квадратные уравненияВремя не указано
7. Систематизируем дискриминант, теорему Виета и параметры корней. Научимся решать олимпиадные задачи без прямого вычисления корней.Время не указано
8. Геометрия: подобиеВремя не указано
9. Систематизируем признаки подобия и отношения соответствующих элементов. Научимся находить скрытые подобные треугольники и строить нужные пропорции.Время не указано
10. Средний уровень сложности:Время не указано
11. Методы: крайние в теории чиселВремя не указано
12. Научимся выбирать наименьшее решение, наибольший делитель или крайний простой множитель и использовать минимальность для получения противоречия или спуска.Время не указано
13. Комбинаторика: информационные задачиВремя не указано
14. Научимся измерять количество информации числом возможных исходов и строить оптимальные алгоритмы вопросов, взвешиваний и кодирования.Время не указано
15. Алгебра: метод ШтурмаВремя не указано
16. Освоим метод сглаживания: будем заменять пару переменных при фиксированных сумме и произведении и сводить многопеременное неравенство к граничным случаям.Время не указано
17. Теория чисел: целая и дробная частьВремя не указано
18. Освоим свойства целой и дробной части, разбиение числовой прямой на интервалы и преобразование условий с целыми значениями.Время не указано
19. Графы: индукция в графахВремя не указано
20. Научимся применять индукцию по числу вершин или рёбер: выбирать удаляемый элемент, сохранять условие и восстанавливать решение.Время не указано
21. Геометрия: степень точкиВремя не указано
22. Освоим произведения отрезков секущих, касательную и степень точки внутри и вне окружности. Научимся доказывать равенства и вписанность.Время не указано
23. Геометрия: описанные четырёхугольникиВремя не указано
24. Изучим критерий существования вписанной окружности и равенство сумм противоположных сторон. Разберём касательные от одной точки и биссектрисы.Время не указано
25. РазнобойВремя не указано
26. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано
27. Сложный уровень сложности:Время не указано
28. Алгебра: неравенство КБШВремя не указано
29. Изучим неравенство Коши Буняковского Шварца в алгебраической и дробной формах. Отработаем подбор переменных и условия равенства.Время не указано
30. Алгебра: теорема Виета для высших степенейВремя не указано
31. Изучим формулы Виета для многочленов степени выше двух и научимся выражать симметрические суммы корней через коэффициенты.Время не указано
32. Теория чисел: функция и теорема ЭйлераВремя не указано
33. Освоим функцию Эйлера, её вычисление по разложению числа и теорему Эйлера. Решим задачи на большие степени и обратимые остатки.Время не указано
34. Геометрия: угадывание точекВремя не указано
35. Научимся восстанавливать скрытую специальную точку по ожидаемым свойствам: достраивать пересечения, окружности и симметричные образы, а затем строго доказывать догадку.Время не указано
36. Геометрия: радикальная ось и радикальный центрВремя не указано
37. Изучим множество точек равных степеней относительно двух окружностей и конкурентность трёх радикальных осей. Применим метод к системам окружностей.Время не указано
38. Комбинаторика: сложные информационные задачиВремя не указано
39. Разберём адаптивные и неадаптивные стратегии, кодирование ответов и информационные нижние оценки. Будем доказывать не только возможность, но и оптимальность алгоритма.Время не указано
40. Комбинаторика: сложные игрыВремя не указано
41. Исследуем выигрышные и проигрышные позиции, стратегии передачи хода и разложение игры на компоненты. Задачи потребуют сочетать инварианты и конструктивы.Время не указано
42. РазнобойВремя не указано
43. Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.Время не указано

1. Простой уровень сложности:Время не указано
2. Теория чисел: квадратные диофантовы уравненияВремя не указано
3. Разберём уравнения, содержащие квадраты: разложение на множители, сравнения, оценки и переход к разности квадратов.Время не указано
4. Геометрия: поиск вписанностейВремя не указано
5. Научимся целенаправленно доказывать, что четыре точки лежат на окружности: через равные углы, сумму углов, степень точки и произведения отрезков.Время не указано
6. Графы: двудольностьВремя не указано
7. Разберём двудольные графы, раскраску в два цвета и критерий оВремя не указано